Question
$ (2 x-5 y)^3-(2 x+5 y)^3$ को सरल कीजिए।
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Answer
$ (2 x-5 y)^3-(2 x+5 y)^3=\left[(2 x)^3-(5 y)^3-3(2 x)(5 y)(2 x-5 y)\right]-\left[(2 x)^3+(5 y)^3+3(2 x)(5 y)(2 x+5 y)\right] $
सर्वसमिका $(a-b)^3=a^3-b^3-3 a b(a-b) $ तथा $(a+b)^3=a^3+b^3+3 a b(a+b) $ से $]$
$ =(2 x)^3-(5 y)^3-30 x y(2 x-5 y)-(2 x)^3-(5 y)^3-30 x y(2 x+5 y) $
$ =-2(5 y)^3-30 x y(2 x-5 y+2 x+5 y) $
$ =-2\left(125 y^3\right)-30 x y(4 x) $
$ =-250 y^3-120 x^2 y$
सर्वसमिका $(a-b)^3=a^3-b^3-3 a b(a-b) $ तथा $(a+b)^3=a^3+b^3+3 a b(a+b) $ से $]$
$ =(2 x)^3-(5 y)^3-30 x y(2 x-5 y)-(2 x)^3-(5 y)^3-30 x y(2 x+5 y) $
$ =-2(5 y)^3-30 x y(2 x-5 y+2 x+5 y) $
$ =-2\left(125 y^3\right)-30 x y(4 x) $
$ =-250 y^3-120 x^2 y$
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एक समांतर चतुर्भुज का एक विकर्ण उसके एक कोण को समद्विभाजित करता है। सिद्ध कीजिए कि वह विकर्ण उस कोण के सम्मुख कोण को समद्विभाजित करेगा।
निम्नलिखित कथनों को अभिगृहीत माना गया है:
- यदि दो रेखाएँ परस्पर प्रतिच्छेद करें तो शीर्षाभिमुख कोण बराबर नहीं होते हैं।
- यदि एक किरण एक रेखा पर खड़ी हो तो इस प्रकार प्राप्त दोनों आसन्न कोणों का योग 180° होता है।
क्या अभिगृहीतों का यह निकाय संगत है?
सत्यापित कीजिए कि x = -$\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{2}{\sqrt{3}}$, संगत बहुपद $p(x) = 3x^2- 1$ का शून्यक है।
→क्या x + 1 दिये गए बहुपद $x^4+ x^3+ x^2+ x + 1$ का एक गुणनखंड है?
→सरल कीजिए: $\frac{7 \sqrt{3}}{\sqrt{10}+\sqrt{3}}-\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}-\frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{15}+3 \sqrt{2}}$
→3 और 4 के बीच में छ: परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
बिंदु A पर प्रतिच्छेद करने वाली दो रेखाओं l और m से समदूरस्थ एक बिंदु P है (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि रेखा AP दोनों रेखाओं के बीच के कोण को समद्विभाजित करती है।
P, Q, R और S क्रमशः एक चतुर्भुज ABCD की AB, BC, CD और DA भुजाओं के मध्य-बिंदु हैं, जिसमें AC $\perp$ BD है। सिद्ध कीजिए कि PQRS एक आयत है।
→AB और CD क्रमशः एक चतुर्भुज ABCD की सबसे छोटी और सबसे बड़ी भुजाएँ हैं। $\angle$B और $\angle$D में से निश्चित कीजिए कि कौन बड़ा है।
→ABCD एक चतुर्भुज है, जिसमें AD = BC और $\angle {DAB}=\angle {CBA}$ है (देखिए आकृति)। सिद्ध कीजिए कि
- $\triangle {ABD} \cong \triangle{BAC}$
- BD = AC
- $\angle {ABD}=\angle {BAC}$