બિંદુP( , , ) માંથી રેખાઓ y = x,z =1 અને y =-x,z =-1 ૫૨ PQ અને PR… - Vidyadip

MCQ

બિંદુ$P(\lambda, \lambda, \lambda)$ માંથી રેખાઓ $y = x,z =1$ અને $y =-x,z =-1$ ૫૨ $\overrightarrow{PQ}$ અને $\overline{PR}$ લંબ દોરેલા છે. જો બિંદુ એ $\angle \text{QPR}$ કાટખુણો બને તેવું હોય , તો $\lambda$ ની શક્ય કિંમત $($કિંમતો$)\ ........ .$

A
$\sqrt{2}$
B
$1$
✓
$-1$
D
$- \sqrt{2}$

✓

Answer

Correct option: C.

$-1$

રેખા $L_1:\frac{x}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{0} \ $ પરનું કોઈ પણ બિંદુ,$ \ Q(k_1,k_1,1)$ અને $\overrightarrow{i}=(1,1,0)$ અને રેખા
$L_2:\frac{x}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z+1}{0} \ $પરનું કોઈ પણ બિંદુ,$ \ R(k_2,-k_2,-1)$ અને $\overrightarrow{m}=(1,-1,0)$
$\overrightarrow{PQ}=(k_1-\lambda,k_1-\lambda,1-\lambda).$ વળી, $ \ \overrightarrow{PQ}\bot L_1$
$\therefore\overrightarrow{PQ} \cdot\overrightarrow{\ell}=0$
$\therefore k_1-\lambda+k_1 - \lambda=0.$ આથી,$ \ k_1=\lambda$
તથા $\overrightarrow{PR}\perp L_2$. આથી,$ \ \overrightarrow{PR}\cdot\overrightarrow{m}=0$
$\therefore (k_2-\lambda, -k_2-\lambda, -1-\lambda)\cdot(1,-1,0)=0$
$\therefore k_2-\lambda+k_2+\lambda=0$
$\therefore k_2=0$
$\angle QPR$ કાટખૂણો છે.
$\therefore\overrightarrow{PQ}\perp\overrightarrow{PR}.$ આથી,$\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{PR}=0$
$\therefore(k_1-\lambda)(k_2-\lambda)+(k_1-\alpha)(-k_1-\lambda)+(1-\lambda)(-1-\lambda)=0$
$\therefore(1-\lambda)(-1-\lambda)=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (k_1=\lambda)$
$\therefore\lambda^2-1=0$
$\therefore\lambda=1$ અથવા $\lambda=-1$
$\lambda=1$ લેતાં $P=Q=(1,1,1).$
આથી,$\lambda=1$ શક્ય નથી.
$\therefore\lambda=-1$

Need a full question paper?

Generate a complete, print-ready paper with questions like this in minutes — across 16+ boards, with answer keys.

Start Generating Free

Explore more

More "MCQ" from સદિશ બીજગણિત→સદિશ બીજગણિત — all question types→ગણિત ધોરણ 12 સાયન્સ question papers→Gujarat Board ધોરણ 12 સાયન્સ question papers→Gujarat Board question paper generator→

Similar questions

ધારો કે $A=\{2,3,6,7\}$ અને $B=\{4,5,6,8\}$. ધારો કે $R$ એ $A \times B$ પર ' $\left(a_1, b_1\right) R\left(a_2, b_2\right)$ તો અને તોજ $a_1+a_2=b_1+b_2^{\prime}$ વડે વ્યાખ્યાયિત સંબંધ છે, તો $R$ માં સભ્યોની સંખ્યા............. છે.

$f : R\rightarrow R,f(x)=x^2+2x+1$ તથા $g : R\rightarrow R.$ જો $f(g(x))=x^2+6x+9$ હોય તો $g(2)$ મેળવો.

ધારો કે $\overrightarrow a = \hat i - \hat k,\overrightarrow b = x\hat i + \hat j + \left( {1 - x} \right)\hat k \ $ અને $ \ \overrightarrow c = y\hat i + x\hat j + \left( {1 + x - y} \right)\hat k.$ તો $\left[ {\overrightarrow a \,\,\overrightarrow b \,\,\overrightarrow c } \right]$ શેના પર આધારીત છે.

પરવલય ${y^2} = 4x$ અને ${x^2} = 4y$ એ રેખાઓ $x = 4$,$y = 4$ અને યામાક્ષો વચ્ચે બનતા ચોરસને ત્રણ ભાગ ઉપરથી નીચેમાં અનુક્રમે ${S_1},{S_2},{S_3}$ માં વિભાજીત કરે છે.તો ઉપરથી નીચે જતા ભાગ ${S_1}:{S_2}:{S_3}$ ના ક્ષેત્રફળનો ગુણોતર મેળવો.

બિંદુ $x = 1$ આગળ વિધેય $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 1;\,\,1 < x < \infty \\x - 1;\,\, - \infty < x \le 1\end{array} \right.$ એ . . . . . થાય.

વક્રો $y = \,|x| - 1$ અને $y = - |x| + 1$ વડે આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ મેળવો.

જો $a, b, c $ એ દરેક એકબીજાથી ભિન્ન હોય અને $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&{{a^3}}&{{a^4} - 1}\\b&{{b^3}}&{{b^4} - 1}\\c&{{c^3}}&{{c^4} - 1}\end{array}\,} \right|=0$ , તો $abc(ab + bc + ca)$ =

જો $x = 1$, $y = 0$ અને $\frac{{dy}}{{dx}} = - 1$ તો $\frac{{{x^2}{d^2}y}}{{d{x^2}}} = \ln x$ નો ઉકેલ મેળવો.

$17\sqrt 2 $ માનવાળો અને $(0,1,-1)$ ની વિરુદ્ધ દિશાનો સદિશ $.......$ થાય.

બિંદુ $C$ નો $B$ ની સાપેક્ષે સ્થાન સદિશ $\left( {\hat i\,\, + \,\,\hat j} \right)$ અને $B$ નો $A$ ની સાપેક્ષે સ્થાન સદિશ $\left( {\hat i\,\, - \,\,\hat j} \right)$ છે. $C$ નો $A$ ની સાપેક્ષે સ્થાન સદિશ....