MCQ
$i\log \left( {\frac{{x - i}}{{x + i}}} \right)$ = . . . $(x \in R)$
- A$\pi + 2{\tan ^{ - 1}}x$
- ✓$\pi - 2{\tan ^{ - 1}}x$
- C$ - \pi + 2{\tan ^{ - 1}}x$
- D$ - \pi - 2{\tan ^{ - 1}}x$
✓
Answer
Correct option: B.
$\pi - 2{\tan ^{ - 1}}x$
b
(b)Let $z = \,i\log \left( {\frac{{x - i}}{{x + i}}} \right)$$ \Rightarrow \,\frac{z}{i} = \log \left( {\frac{{x - i}}{{x + i}}} \right)$
$ \Rightarrow \frac{z}{i} = \log \,\left[ {\frac{{x - i}}{{x + i}} \times \frac{{x - i}}{{x - i}}} \right]$$ = \,\log \,\left[ {\frac{{{x^2} - 1 - 2ix}}{{{x^2} + 1}}} \right]$
$ \Rightarrow \frac{z}{i} = \log \left[ {\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 1}} - i\frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}} \right]$ ......$(i)$
$\,\log (a + ib) = \log (r{e^{i\theta }}) = \log r + i\theta $= $\log \sqrt {{a^2} + {b^2}} + i{\tan ^{ - 1}}(b/a)$
Hence, $\frac{z}{i} = \log \sqrt {{{\left( {\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 1}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{ - 2x}}{{{x^2} + 1}}} \right)}^2}} + i{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{ - 2x}}{{{x^2} - 1}}} \right)$
(b)Let $z = \,i\log \left( {\frac{{x - i}}{{x + i}}} \right)$$ \Rightarrow \,\frac{z}{i} = \log \left( {\frac{{x - i}}{{x + i}}} \right)$
$ \Rightarrow \frac{z}{i} = \log \,\left[ {\frac{{x - i}}{{x + i}} \times \frac{{x - i}}{{x - i}}} \right]$$ = \,\log \,\left[ {\frac{{{x^2} - 1 - 2ix}}{{{x^2} + 1}}} \right]$
$ \Rightarrow \frac{z}{i} = \log \left[ {\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 1}} - i\frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}} \right]$ ......$(i)$
$\,\log (a + ib) = \log (r{e^{i\theta }}) = \log r + i\theta $= $\log \sqrt {{a^2} + {b^2}} + i{\tan ^{ - 1}}(b/a)$
Hence, $\frac{z}{i} = \log \sqrt {{{\left( {\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 1}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{ - 2x}}{{{x^2} + 1}}} \right)}^2}} + i{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{ - 2x}}{{{x^2} - 1}}} \right)$
[by eqn. $(i)$]
$\frac{z}{i} = \log \frac{{\sqrt {{x^4} + 1 - 2{x^2} + 4{x^2}} }}{{{{({x^2} + 1)}^2}}}$ $ + i{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{2x}}{{1 - {x^2}}}} \right)$
$ = \log 1 + i\,(2{\tan ^{ - 1}}x)$$ = 0 + i\,(2{\tan ^{ - 1}}x)$
$\therefore z = {i^2}2{\tan ^{ - 1}}x = - 2{\tan ^{ - 1}}x$$ = \pi - 2{\tan ^{ - 1}}x$.
Need a full question paper?
Generate a complete, print-ready paper with questions like this in minutes — across 16+ boards, with answer keys.
Explore more
Similar questions
જો $\tan \theta = t,$ તો $\tan 2\theta + \sec 2\theta = $
→$\frac{2 \left(\sin 1^0 + \sin 2^0 + \sin 3^0 + ... + \sin 89^0\right)}{2 \left(\cos 1^0 + \cos 2^0 + ... + \cos 44^0\right) + 1} =$ ...........
→આર્ગેંડ સમતલમાં રહેલા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ મેળવો જેના શિરોબિંદુ સંકર સંખ્યા $z,\, iz,\, z + iz$ હોય
→પરવલય $y^{2} = 4ax$ ના નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ :
→સમીકરણ $4x^2 + 3x + 7 = 0$ માટે જો $\alpha$ અને $\beta$ બીજો હોય તો $1/\alpha + 1/\beta = ……$
→$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {\frac{{\Sigma {n^2}}}{{{n^3}}}} \right] = $
→જો બે પરસ્પર લંબ રેખાઓ બિંદુ $A(1, 1)$ માંથી પસાર થઈને $x$ & $y$ અક્ષને અનુક્રમે બિંદુઓ $B$ & $C$ છેદે તો $\Delta ABC$ ના મધ્યકેન્દ્રના બિંદુપથનું સમીકરણ મેળવો
→જો $'MOTHER'$ શબ્દના અક્ષરોને શક્ય તેટલી બધી રીતે લખવામાં આવે અને આ શબ્દો શબ્દકોશ પ્રમાણે લખવામાં આવે તો $ ' MOTHER' $ શબ્દનો ક્રમ કેટલામો હશે ?
→જો $x^7=1$ નું બીજ $\alpha$ હોય અને $\alpha$
$1$ તો :
$\alpha^{101}+\alpha^{102}+...+\alpha^{205}=.... :$
→$1$ તો :$\alpha^{101}+\alpha^{102}+...+\alpha^{205}=.... :$
જો સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ અને અંતિમ પદ $a$ અને $ℓ $ તથા તેના દરેક પદોનો સરવાળો $S$ થાય, તો તેનો સામાન્ય તફાવત કેટલો થાય ?
→