_0^1 8 ( 1 + x ) 1 + x^2 ,dx = ......... - Vidyadip

MCQ

$\int\limits_0^1 {\frac{{8\log \left( {1 + x} \right)}}{{1 + {x^2}}}\,dx = .........} $

✓
$\pi \,\log 2$
B
$\frac{\pi }{8}\,\log 2$
C
$\frac{\pi }{2}\,\log 2$
D
$\log 2$

✓

Answer

Correct option: A.

$\pi \,\log 2$

$I=\int^1_0\frac{8\log(1+x)}{1+x^2}dx.$
$x=\tan\theta$ મુકતા
$dx=\sec^2 \theta \ d\theta\begin{cases}x=0 & \tan\theta=0\\x=1 & \theta=\frac{\pi}{4}\end{cases}$
$I=\int^{\frac{\pi}{4}}_0\frac{8\log(1+\tan\theta )}{sec^2\theta}.sec^2\theta \ d\theta$
$=8\int^{\frac{\pi}{4}}_0\log(1+\tan\theta)d\theta$
$=\int^{\frac{\pi}{4}}_0\log\left(1+\tan\theta\left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)\right)d\theta$
$=8\int^{\frac{\pi}{4}}_0\left(1+\frac{1-\tan\theta}{1+\tan\theta}\right)d\theta$
$=8\int^{\frac{\pi}{4}}_0 \log\left(\frac{2}{1+\tan\theta}\right)d\theta$
$=8\int^{\frac{\pi}{4}}_0 \log\left(\frac{2}{1+\tan\theta}\right)d\theta$
$I=8\int^{\frac{\pi}{4}}_0\log 2d\theta-I$
$2I=8\int^{\frac{\pi}{4}}_0\log 2 \ d\theta$
$2I=8\log2[\theta]^{\frac{\pi}{4}}_0 $
$\Rightarrow 8\log 2 \left(\frac{\pi}{4}\right)$
$I=\pi \log 2$

Need a full question paper?

Generate a complete, print-ready paper with questions like this in minutes — across 16+ boards, with answer keys.

Start Generating Free

Explore more

More "MCQ" from સંકલનનો ઉપયોગ→સંકલનનો ઉપયોગ — all question types→ગણિત ધોરણ 12 સાયન્સ question papers→Gujarat Board ધોરણ 12 સાયન્સ question papers→Gujarat Board question paper generator→

Similar questions

વ્યાવહારિક પ્રશ્નોની ચર્ચામાં પતિનો અભિપ્રાય હકારાત્મક હોય તેની સંભાવના $\frac{3}{5}$ છે. જ્યારે પત્નિનો અભિપ્રાય હકારાત્મક હોય તેની સંભાવના $\frac{2}{5}$ છે. કોઈ પ્રશ્નની ચર્ચામાં બંનેનો અભિપ્રાય અલગ $-$ અલગ હોય તેની સંભાવના $.......$ છે.

જો $A = \left[\begin{matrix}\cos \alpha & \sin \alpha \\- \sin \alpha & \cos \alpha \\ \end{matrix} \right]$ તો $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}A^n = .......$

જો $\phi \,(x) = {\log _5}\,{\log _3}\,x;$ તો $\phi '\,(e)$ મેળવો.

બિંદુ $(2, -1, 4)$ થી રેખા $\frac{{x + 3}}{{10}} = \frac{{y - 2}}{{ - 7}} = \frac{z}{1}$ નું લંબઅંતર મેળવો.

જો $\int_{}^{} {\frac{{dx}}{{1 + \sin x}} = \tan \left( {\frac{x}{2} + a} \right) + b} $, તો

બિંદુ $(2, 3, -4)$ માંથી પસાર થતી અને સદિશ $6\hat i\,\, + \,\,3\hat j\,\, - \,\,4\hat k\,$ ને સમાંતર રેખાનું બિંદુ $- \hat i\,\, + \,\,2\hat j\,\, + \,\,6\hat k\,$થી અંતર મેળવો.

બે સદીશો $\vec{p}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+k$ અને $\vec{q}=\hat{i}+2 \hat{j}+k$ આપેલ છે. જો સદીશો $\vec{r}=(a \hat{i}+\beta \hat{j}+\gamma k)$ એ સદીશો $(\vec{p}+\bar{q})$ અને $(\vec{p}-\vec{q})$ બંને ને લંબ છે અને $|\vec{r}|=\sqrt{3}$ હોય તો $|\alpha|+|\beta|+|\gamma|$ ની કિમંત મેળવો.

જો $\tan ({\cos ^{ - 1}}x)$ $ = \sin \left[ {{{\cot }^{ - 1}}\left( {\frac{1}{2}} \right)} \right]$, તો $x$ મેળવો.

બિંદુ $C$ નો $B$ ની સાપેક્ષે સ્થાન સદિશ $\left( {\hat i\,\, + \,\,\hat j} \right)$ અને $B$ નો $A$ ની સાપેક્ષે સ્થાન સદિશ $\left( {\hat i\,\, - \,\,\hat j} \right)$ છે. $C$ નો $A$ ની સાપેક્ષે સ્થાન સદિશ....

જો શ્રેણિક $A=\left[\begin{array}{ccc}{1} & {1} & {2} \\ {1} & {3} & {4} \\ {1} & {-1} & {3}\end{array}\right], B=\operatorname{adj} A$ અને $\mathrm{C}=3 \mathrm{A},$ તો $\frac{|\mathrm{adjB}|}{|\mathrm{C}|}$ મેળવો.