MCQ
જો $f(x) = 2x + {\cot ^{ - 1}}x + \log (\sqrt {1 + {x^2}} - x)$, તો $f(x)$ એ . . .
- ✓$[0 $,$\infty $) માં વધતું છે
- B$[0$ ,$\infty $) માં ઘટતું
- Cવધતું કે ઘટતું બંને માંથી એકપણ નહીં
- Dએકપણ નહીં.
$\therefore f'(x) = 2 - \frac{1}{{1 - {x^2}}} + \frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} - x}}\left( {\frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} - 1} \right)$
$ = \frac{{1 + 2{x^2}}}{{1 + {x^2}}} - \frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} = \frac{{1 + 2{x^2}}}{{1 + {x^2}}} - \frac{{\sqrt {(1 + {x^2})} }}{{1 + {x^2}}}$
$ = \frac{{{x^2} + \sqrt {1 + {x^2}} (\sqrt {1 + {x^2}} - 1)}}{{1 + {x^2}}} \ge 0$ for all $x$
Hence $ f(x) $ is an increasing function on $( - \infty ,\,\infty )$ and
in particular on $[0,\;\infty )$.
Generate a complete, print-ready paper with questions like this in minutes — across 16+ boards, with answer keys.
$y\left( 1 \right) = \frac{\pi }{2}$