_0^ xf ( x )dx = - Vidyadip

MCQ

$\mathop \smallint \limits_0^\pi xf\left( {\sin x} \right)dx = $

A
$\;\pi \mathop \smallint \limits_0^\pi xf\left( {\cos x} \right)dx$
B
$\;\pi \mathop \smallint \limits_0^\pi f\left( {\sin x} \right)dx$
C
$\frac{\pi }{2}\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} f\left( {\sin x} \right)dx$
✓
$\pi \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} f\left( {\cos x} \right)dx$

✓

Answer

Correct option: D.

$\pi \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} f\left( {\cos x} \right)dx$

d
$I=\int_{0}^{\pi} x f(\sin x) d x$

$=\int_{0}^{\pi}(\pi-x) f(\sin x) d x$

$=\pi \int_{0}^{\pi} f(\sin x) d x-1$

$\Rightarrow 2 I=\pi \frac{\pi}{0} f(\sin x) d x$

$I=\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} f(\sin x) d x$

$=\pi \int_{0}^{\pi / 2} f(\sin x) d x$

$=\pi \int_{0}^{\pi / 2} f(\cos x) d x$

Need a full question paper?

Generate a complete, print-ready paper with questions like this in minutes — across 16+ boards, with answer keys.

Start Generating Free

Explore more

More "MCQ" from 7.2 definite integral→7.2 definite integral — all question types→ગણિત ધોરણ 12 સાયન્સ question papers→Gujarat Board ધોરણ 12 સાયન્સ question papers→Gujarat Board question paper generator→

Similar questions

જો $f(x) = {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{{2x}}{{1 + {x^2}}}} \right) + {\sin ^{ - 1}}\left( {\frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^2}}}} \right)$ તો $f(1) + f(2)$ ની કિમંત મેળવો.

જો $I$ એ આપેલ સંકલન

${I_1} = \int_0^1 {{e^{ - x}}{{\cos }^2}x\,dx} , \,\, {I_2} = \int_0^1 {{e^{ - {x^2}}}} {\cos ^2}x\,dx$

${I_3} = \int_0^1 {{e^{ - {x^2}}}dx} ,\,\,{I_4} = \int_0^1 {{e^{ - {x^2}/2}}dx} ,$

માં સૌથી મહતમ હોય તો . . .

મધ્યકમાન પ્રમેયમાં $f(b) - f(a) = (b - a)f'(c)$ આપેલ છે. જો $a = 4 , b = 9$ અને $f(x) = \sqrt x $ તો $ c$ ની કિમંત મેળવો.

સમીકરણ $\sqrt {a + x} \frac{{dy}}{{dx}} + x = 0$ નો ઉકેલ મેળવો.

એક બેગ $X$ માં $2$ સફેદ અને $3$ કાળા દડા તથા બીજી એક બેગ $Y$ માં $4$ અને $2$ કાળા દડા છે. કોઈ પણ એક બેગ પસંદ કરી તેમાંથી એક દડો પસંદ કરવામાં આવે છે, તો તે દડો સફેદ હોવાની સંભાવના કેટલી?

ધારો કે $A, B, C$ એ ત્રણ બિંદુઓ છે, જેના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\overrightarrow{ a }=\hat{ i }+4 \hat{ j }+3 \hat{ k }$ ; $\overrightarrow{ b }=2 \hat{ i }+\alpha \hat{ j }+4 \hat{ k }, \alpha \in R$ ; $\overrightarrow{ c }=3 \hat{ i }-2 \hat{ j }+5 \hat{ k }$ છે. જો $\alpha$ એવી ન્યૂનતમ ધનપૂર્ણાંક હોય કે જેના માટે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ અસમરેખ થાય, તો $\triangle A B C$ માં $A$ માંથી પસાર થતી મધ્યગાની લંબાઈ $\dots\dots$છે.

$\int e^x[\tan x-\log (\cos x)] d x=\ldots \ldots \ldots$

The mean and variance of a binomial distribution are $4$ and $3$ respectively, then the probability of getting exactly six successes in this distribution is

$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&{\cos (\alpha - \beta )}&{\cos \alpha }\\{\cos (\alpha - \beta )}&1&{\cos \beta }\\{\cos \alpha }&{\cos \beta }&1\end{array}\,} \right|=$

ધારો કે $S =\{1,2,3,4\}$ તો ગણ $\{f: S \times S \rightarrow S : f$ એ વ્યાત્પ છે અને $f( a , b )=f( b , a ) \geqslant a ; \forall( a , b ) \in S \times S \}$ નાં ધટકોની સંખ્યા...........છે