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सारणिक — गणित कक्षा 12 साइन्स — Question

CBSE Boardहिन्दी माध्यमकक्षा 12 साइन्सगणितसारणिक5 Marks
Question
यदि a, b और c वास्तविक संख्याएँ हो और सारणिक
$ \Delta$ = $ \left|\begin{array}{lll} b+c & c+a & a+b \\ c+a & a+b & b+c \\ a+b & b+c & c+a \end{array}\right|$= 0
हो तो दर्शाइए कि या तो $a + b + c = 0$ या $a = b = c$ है।
✓

Answer

$\Delta$ $= 2(a + b + c) [(b - c) (c - b) - (b - a) (c - a)]$
$= 2(a + b + c)[bc - c^2- b^2+ bc - bc + ac + ab - a^2]$
$= 2(a + b + c) (ab + bc + ca - a^2- b^2- c^2)$
दिया है, $\Delta$ = 0
$\therefore$ (a + b + c) $ \times$ $2(ab + bc + ca - a^2- b^2- c^2) = 0$
$\Rightarrow$ या तो  $(  a + b + c) = 0$ या $2(ab + bc + ca - a^2 - b^2 - c^2) = 0$
यदि $2(ab + bc + ca - a^2 - b^2- c^2) = 0$
$ \Rightarrow$ -$(2 a^2+ 2b^2+ 2c^2- 2ab - 2bc - 2ca) = 0$ [(-) चिन्ह उभयनिष्ठ लेने पर]
$ \Rightarrow$ $2 a^2+ 2b^2+ 2c^2- 2ab - 2bc - 2ca = 0$
$ \Rightarrow$ $(a^2+ b^2- 2ab) + (b^2+ c^2- 2bc) + (c^2+ a^2- 2ca) = 0$
$ \Rightarrow$  $(a - b)^2+ (b - c)^2+ (c - a)^2= 0$ [$\because$ $(x - y)^2= x^2+ y^2- 2xy]$
$\Rightarrow $ $(a-b)^2= (b - c)^2= (c - a)^2 = 0$ [$\because$$(a - b)^2, (b - c)^2, (c - a)^2$ धनात्मक हैं]
$\Rightarrow $$(a - b) = (b - c) = (c - a) = 0$
$\Rightarrow $ $a = b = c$
अतः यदि $\Delta$ $= 0$ तो $a + b + c = 0$ या $a = b = c$

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