Question 513 Marks
Evaluate $\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\text{f(x)},$ where $\text{f(x)}=\begin{cases}\frac{|\text{x}|}{\text{x}}, & \text{x} \ne0\\0, &\text{x} = 0\end{cases}.$
Answer$\text{L.H.L}=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0^-}\text{f(x)}$
$\Rightarrow\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0^-}\frac{|\text{x}|}{\text{x}}$
$\Rightarrow\lim\limits_{\text{h}\rightarrow0}\frac{|0-\text{h}|}{0-\text{h}}$
$\Rightarrow\lim\limits_{\text{h}\rightarrow0}\frac{+\text{h}}{-\text{h}}=-1\ \cdots(\text{i})$
And,
$\text{R.H.L}=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0^+}\text{f(x)}$
$\Rightarrow\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0^+}\frac{|\text{x}|}{\text{x}}$
$\Rightarrow\lim\limits_{\text{h}\rightarrow0^+}\frac{|\text{x}|}{\text{x}}$
$\Rightarrow\lim\limits_{\text{h}\rightarrow0}\frac{|0+\text{h}|}{0+\text{h}}=\lim\limits_{\text{h}\rightarrow0}\frac{\text{h}}{\text{h}}=1\ \cdots(\text{ii})$
So, $\text{L.H.L}\ne\text{R.H.L}$
$\therefore\ \lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\text{f(x)}$ does not exist.
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Prove that $\lim\limits_{\text{x}\rightarrow\text{a}^+}\ [\text{x}]=[\text{a}]$ for all $\text{a }\in\text{ R}.$ also prove that $\lim\limits_{\text{x}\rightarrow1^-}\ [\text{x}]=0.$
Answer $\lim\limits_{\text{x}\rightarrow\text{a}^+}\ [\text{x}]$
$\Rightarrow\lim\limits_{\text{h}\rightarrow0}[\text{a}+\text{h}]=[\text{a}]$
$\Rightarrow\lim\limits_{\text{h}\rightarrow0}\ [\text{x}]=[\text{a}]\forall\text{a }\in\text{ R}$
Also,
$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow1^-}\ [\text{x}]$
$=\lim\limits_{\text{h}\rightarrow0}\ [1-\text{h}]$
$=0$
$\Rightarrow\lim\limits_{\text{x}\rightarrow1^-}\ [\text{x}]=0$
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Evaluate $\lim\limits_{\text{x}\rightarrow2}{\text{f(x)}}$ (if it exist), where $\text{f(x)}=\begin{cases}\text{x}-[\text{x}],&\text{x}<2\\4 ,& \text{x} = 2\\3\text{x}-5, & \text{x} > 2\end{cases}.$
Answer$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow2^-}{\text{f(x)}}=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow2^-}\big(\text{x}-[\text{x}]\big)$
$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow2^-}{\text{x}}-\lim\limits_{\text{x}\rightarrow2^-}[\text{x}]$
$=2-1=1$ $\Big[\because\lim\limits_{\text{x}\rightarrow\text{k}^-}[\text{x}]=\text{k}-1\Big]$
$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow2^-}{\text{f(x)}}=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow2^+}(3\text{x}-5)$ $[\because\text{x}>2]$
$=3(2)-5$
$=6-5$
$=1$
Thus, $\lim\limits_{\text{x}\rightarrow2^-}{\text{f(x)}}=1=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow2^+}\text{f(x)}$
$\Rightarrow\lim\limits_{\text{x}\rightarrow2}{\text{f(x)}}=1$
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Evaluate the following limit:
$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\tan8\text{x}}{\sin2\text{x}}$
Answer$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\tan8\text{x}}{\sin2\text{x}}$
$=\frac{\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}{\tan8\text{x}}{}}{\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}{\sin2\text{x}}}$
$=\frac{\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\tan8\text{x}}{8\text{x}}\times8\text{x}}{\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\sin2\text{x}}{2\text{x}}\times2\text{x}}$ $\big[\because\sin3\text{x}=3\sin\text{x}-4\sin^3\text{x}\big]$
$=\frac{\lim\limits_{8\text{x}\rightarrow0}\frac{\tan8\text{x}}{8\text{x}}\times\frac{8\text{x}}{2\text{x}}}{\lim\limits_{2\text{x}\rightarrow0}\frac{\sin2\text{x}}{2\text{x}}}$ $\begin{bmatrix}\because\text{x}\rightarrow 0 \\8\text{x}\rightarrow0 \\2\text{x}\rightarrow0 \end{bmatrix}$
$=\frac{1\times\frac82}{1}$ $\Big[\because\ \lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\sin\text{x}}{\text{x}}=1\text{ and }\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\tan\text{x}}{\text{x}}=1\Big]$
$=\frac82$
$=4$
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Evaluate the following limit:
$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow{\frac{\pi}{4}}}\frac{1-\tan\text{x}}{\text{x}-\frac{\pi}{4}}$
Answer$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow{\frac{\pi}{4}}}\frac{1-\tan\text{x}}{\text{x}-\frac{\pi}{4}}$
If $\text{x}\rightarrow\frac{\pi}{4},$ then $\text{x}-\frac\pi4\rightarrow0$
Let $\text{x}-\frac\pi4=\text{y}\Rightarrow\text{y}\rightarrow0$
$=\lim\limits_{\text{y}\rightarrow{0}}\frac{1-\tan\big(\text{y}+\frac{\pi}{4}\big)}{\text{y}}$
$=\lim\limits_{\text{y}\rightarrow{0}}\frac{1-\Bigg(\frac{\tan\text{y}+\tan\frac{\pi}{4}}{1-\tan\text{y}\tan\frac{\pi}{4}}\Bigg)}{\text{y}}$
$=\lim\limits_{\text{y}\rightarrow{0}}\frac{(1-\tan\text{y}-\tan\text{y}-1)}{\text{y}(1-\tan\text{y})}$ $\Big[\because\tan\frac{\pi}{4}=1\Big]$
$=\lim\limits_{\text{y}\rightarrow{0}}\frac{(-2\tan\text{y})}{(1-\tan\text{y})}$
$=-2\lim\limits_{\text{y}\rightarrow{0}}\frac{\tan\text{y}}{\text{y}}\times\frac{1}{\lim\limits_{\text{y}\rightarrow{0}}(1-\tan\text{y})}$
$=-2\times1\frac{1}{(1-0)}$ $\Big[\because\lim\limits_{\theta\rightarrow{0}}\frac{\sin\theta}{\theta}=1\Big]$
$=-2$
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Evaluate the following limit:
$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\sqrt{1+\sin\text{x}}-\sqrt{1-\sin\text{x}}}{\text{x}}$
Answer$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\sqrt{1+\sin\text{x}}-\sqrt{1-\sin\text{x}}}{\text{x}}$
$=\lim\limits_{\text{x} \rightarrow0}\frac{\big(\sqrt{1+\sin\text{x}}-\sqrt{1-\sin\text{x}}\big)}{\text{x}}\frac{\big(\sqrt{1+\sin\text{x}}+\sqrt{1-\sin\text{x}}}{\big(\sqrt{1+\sin\text{x}}+\sqrt{1-\sin\text{x}}\big)}$
$=\lim\limits_{\text{x} \rightarrow0}\frac{\big((1+\sin\text{x})+(1-\sin\text{x})\big)}{\text{x}\big(\sqrt{1+\sin\text{x}}+\sqrt{1-\sin\text{x}}\big)}$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{2\sin\text{x}}{\text{x}\big(\sqrt{1+\sin\text{x}}+\sqrt{1-\sin\text{x}}\big)}$
$=2\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\sin\text{x}}{\text{x}}\times\frac{1}{\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\big(\sqrt{1+\sin\text{x}}+\sqrt{1-\sin\text{x}}\big)}$
$=2\times1\times\frac12$
$=1$
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Evaluate the following limit:
$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}(\cos\text{x}+\text{a}\sin\text{bx})^\frac{1}{\text{x}}$
Answer$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}(\cos\text{x}+\text{a}\sin\text{bx})^\frac{1}{\text{x}}$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}(1+(\cos\text{x}+\text{a}\sin\text{bx}))^\frac{1}{\text{x}}$
$=\text{e}^{\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{(\cos\text{x}+\text{a}\sin\text{bx}-1)}{\text{x}}}$
$=\text{e}^{\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{(\text{a}\sin\text{bx}-(1-\cos\text{x}))}{\text{x}}}$
$=\text{e}^{\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\big(\text{a}\sin\text{bx}-2\sin^2\big(\frac{\text{x}}{2}\big)\big)}{\text{x}}}$
$=\text{e}^{\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{ab}\sin\text{bx}}{\text{bx}}-\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{2\sin\big(\frac{\text{x}}{2}\big)\sin\big(\frac{\text{x}}{2}\big)}{2\big(\frac{\text{x}}{2}\big)}}$
$=\text{e}^{\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{ab}\sin\text{bx}}{\text{bx}}-\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{2\sin\big(\frac{\text{x}}{2}\big)\sin\big(\frac{\text{x}}{2}\big)}{\big(\frac{\text{x}}{2}\big)}}$
$=\text{e}^{\text{ab}-0}$
$=\text{e}^{\text{ab}}$
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Evaluate the following limit:
$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}(\cos\text{x}+\sin\text{x})^{\frac{1}{\text{x}}}$
Answer$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}(\cos\text{x}+\sin\text{x})^{\frac{1}{\text{x}}}$
$=\ \lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}(1+(\cos\text{x}+\sin\text{x}-1))^{\frac{1}{\text{x}}}$
$=\text{e}^{\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{(\cos\text{x}+\sin\text{x}-1)}{\text{x}}}$
$=\text{e}^{\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{(\sin\text{x}-(1-\cos\text{x}))}{\text{x}}}$
$=\text{e}^{\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\big(\sin\text{x}-2\sin^2\big(\frac{\text{x}}{2}\big)\big)}{\text{x}}}$
$=\text{e}^{\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\sin\text{x}}{\text{x}}-\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{2\sin\big(\frac{\text{x}}{2}\big)\sin\big(\frac{\text{x}}{2}\big)}{2\big(\frac{\text{x}}{2}\big)}}$
$=\text{e}^{\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\sin\text{x}}{\text{x}}-\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{2\sin\big(\frac{\text{x}}{2}\big)\sin\big(\frac{\text{x}}{2}\big)}{\big(\frac{\text{x}}{2}\big)}}$
$=\text{e}^{1-0}$
$=\text{e}$
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Evaluate the following limit:
$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\sqrt{1+\text{x}+\text{x}^2}-1}{\text{x}}$
Answer $\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\sqrt{1+\text{x}+\text{x}^2}-1}{\text{x}}$ $=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\big(\sqrt{1+\text{x}+\text{x}^2}-1\big)}{\text{x}}\frac{\big(\sqrt{1+\text{x}+\text{x}^2}+1\big)}{\big(\sqrt{1+\text{x}+\text{x}^2}+1\big)}$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\big(\big(1+\text{x}+\text{x}^2\big)-1\big)}{\big(\sqrt{1+\text{x}+\text{x}^2}+1\big)}$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{x}(1+\text{x})}{\big(\sqrt{1+\text{x}+\text{x}^2}+1\big)}$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{1+\text{x}}{\sqrt{1+\text{x}+\text{x}^2}+1}$
$=\frac{1+0}{\sqrt{1+0+0}+1}$
$=\frac{1}{1+1}$
$=\frac12$
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Evaluate the following limit:
$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{x}\tan\text{x}}{1-\cos\text{x}}$
Answer$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{x}\tan\text{x}}{1-\cos\text{x}}$
$=\lim\limits_{\text{x} \rightarrow0}\frac{\text{x}\sin\text{x}}{\cos\text{x}(1-\cos\text{x})}$
$=\lim\limits_{\text{x} \rightarrow0}\frac{\text{x}\sin\text{x}}{\cos\text{x}\big(2\sin^2\frac{\text{x}}{2}\big)}$
$=\lim\limits_{\text{x} \rightarrow0}\frac{\text{x}\big(2\sin\frac{\text{x}}{2}\cos\frac{\text{x}}{2}\big)}{\cos\text{x}\big(2\sin^2\frac{\text{x}}{2}\big)}$
$=\lim\limits_{\text{x} \rightarrow0}\frac{\text{x}\cos\frac{\text{x}}{2}}{\cos\text{x}\frac{\sin{\text{x}}{}}{2}}$
$=\lim\limits_{\text{x} \rightarrow0}\frac{\text{x}\cos\frac{\text{x}}{2}}{\cos\text{x}\frac{\sin\text{x}}{2}}$
$=\lim\limits_{\text{x} \rightarrow0}\frac{1}{\cos\text{x}\times\frac{\frac{\tan\text{x}}{2}}{\text{x}}}$
$=\lim\limits_{\text{x} \rightarrow0}\frac{1}{\cos\text{x}}\times\frac{1}{\cos\text{x}\times\frac{\frac{\tan\text{x}}{2}}{\frac{\text{x}}{2}}\times\frac12}$
$=1\times1\times2$
$=2$
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Evaluate the following limit:
$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow{\text{a}}}\frac{(\text{x}+2)^{\frac{5}{2}}-(\text{a}+2)^{\frac{5}{2}}}{\text{x}-\text{a}}$
Answer $\lim\limits_{\text{x}\rightarrow{\text{a}}}\frac{(\text{x}+2)^{\frac{5}{2}}-(\text{a}+2)^{\frac{5}{2}}}{\text{x}-\text{a}}$ $=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow{\text{a}}}\frac{(\text{x}+2)^{\frac{5}{2}}-(\text{a}+2)^{\frac{5}{2}}}{(\text{x}+2)-(\text{a}+2)}$
$=\lim\limits_{\text{y}\rightarrow{\text{b}}}\frac{\text{y}^\frac{5}{2}-\text{b}^\frac{5}{2}}{\text{y}-\text{b}},$ where x + 2 = y and a + 2 = b
$=\frac{5}{2}\text{b}^{\frac{5}{2}-1}$ $\Big[\text{Using formula}\ \lim\limits_{\text{x}\rightarrow{\text{a}}}\frac{\text{x}^{\text{n}}-\text{a}^\text{n}}{\text{x}-\text{a}}=\text{na}^{\text{n}-1}\Big]$
$=\frac{5}{2}(\text{a}+2)^{\frac{5}{2}-1}$
$=\frac{5}{2}(\text{a}+2)^{\frac{3}{2}}$
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Evaluate the following limit:
$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\sqrt{1+\text{x}}-\sqrt{1-\text{x}}}{2\text{x}}$
Answer $\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\sqrt{1+\text{x}}-\sqrt{1-\text{x}}}{2\text{x}}$ $=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\big(\sqrt{1+\text{x}}-\sqrt{1-\text{x}}\big)}{2\text{x}}\times\frac{\big(\sqrt{1+\text{x}}+\sqrt{1-\text{x}}\big)}{\big(\sqrt{1+\text{x}}+\sqrt{1-\text{x}}\big)}$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{(1+\text{x})-{(1-\text{x}})}{2\text{x}\big(\sqrt{1+\text{x}}+\sqrt{1-\text{x}}\big)}$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{2\text{x}}{2\text{x}\big(\sqrt{1+\text{x}}+\sqrt{1-\text{x}}\big)}$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{1}{\big(\sqrt{1+\text{x}}+\sqrt{1-\text{x}}\big)}$
$=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{1}}$
$=\frac{1}{2}$
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Evaluate the following limit:
$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\tan\text{x}-\sin\text{x}}{\sin3\text{x}-3\sin\text{x}}$
Answer $\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\tan\text{x}-\sin\text{x}}{\sin3\text{x}-3\sin\text{x}}$ $=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\frac{\sin\text{x}}{\cos\text{x}}-\sin\text{x}}{3\sin-4\sin^3\text{x}-3\sin\text{x}}$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\sin\text{x}\big(\frac{1}{\cos\text{x}}-1\big)}{-4\sin^3\text{x}}$
$=\frac{-1}{4}\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\frac{1}{\cos\text{x}}-1}{\sin^2\text{x}}$
$=\frac{-1}{4}\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\frac{1-\cos\text{x}}{\cos\text{x}}}{1-\cos^2\text{x}}$
$=\frac{-1}{4}\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{1\cos\text{x}}{(\cos\text{x})(1-\cos\text{x})(1+\cos\text{x})}$
$=\frac{-1}{4}\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{1}{(\cos\text{x})(1+\cos\text{x})}$
$=\frac{-1}{4}\times\frac{1}{1(1+1)}$
$=\frac{-1}{4}\times\frac12$
$=-\frac{1}{8}$
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Evaluate the following limits:
$\lim\limits_{\text{n}\rightarrow\infty}\frac{\text{n}^2}{1+2+3+\ \dots+\text{n}}$
Answer $\lim\limits_{\text{n}\rightarrow\infty}\frac{\text{n}^2}{1+2+3+\ \dots+\text{n}}$ $=\lim\limits_{\text{n}\rightarrow\infty}\frac{\text{n}^2}{\frac{1}{2}\text{n}(\text{n}+1)}$ $\Big[\because1+2+3+\ \dots+\text{n}=\frac{\text{n}(\text{n}+1)}{2}\Big]$
$=\lim\limits_{\text{n}\rightarrow\infty}\frac{\text{n}^2}{\frac{1}{2}\text{n}(\text{n}+1)}$
$=\lim\limits_{\text{n}\rightarrow\infty}\frac{2\text{n}^2}{\text{n}^2+\text{n}}$
$=2\lim\limits_{\text{n}\rightarrow\infty}\frac{\text{n}^2}{\text{n}^2+\text{n}}$
$=2\lim\limits_{\text{n}\rightarrow\infty}\frac{\text{n}^2}{\text{n}^2\big(1+\frac{1}{\text{n}}\big)}$
$=2\times\frac{1}{1\times0}$
$=2$
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Evaluate the following limit:
$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow{1}}\frac{\text{x}^{15}-1}{\text{x}^{10}-1}$
Answer $\lim\limits_{\text{x}\rightarrow{1}}\frac{\text{x}^{15}-1}{\text{x}^{10}-1}$ $=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow{1}}\frac{\frac{\text{x}^{15}-1^{15}}{\text{x}-1}}{\frac{\text{x}^{10}-1^{10}}{\text{x}-1}}$ [Dividing numerator and denominator by x - 1]
$=\frac{\lim\limits_{\text{x}\rightarrow1}\frac{\text{x}^{15}-1^{15}}{\text{x}-1}}{\lim\limits_{\text{x}\rightarrow1}\frac{\text{x}^{10}-1^{10}}{\text{x}-1}}$
Applying formula $\lim\limits_{\text{x}\rightarrow{\text{a}}}\frac{\text{x}^{\text{n}}-\text{a}^\text{n}}{\text{x}-\text{a}}=\text{na}^{\text{n}-1}$ in numerator and $\lim\limits_{\text{x}\rightarrow{\text{a}}}\frac{\text{x}^{\text{m}}-\text{a}^{\text{m}}}{\text{x}-\text{a}}=\text{ma}^{\text{m}-1}$ in denominator
$\Rightarrow\text{n}=15,\text{m}=10$
$\Rightarrow\frac{\lim\limits_{\text{x}\rightarrow1}\frac{\text{x}^{15}-1^{15}}{\text{x}-{1}}}{\lim\limits_{\text{x}\rightarrow1}\frac{\text{x}^{10}-1^{10}}{\text{x}-1}}=\frac{15(1)^{15-1}}{10(1)^{10-1}}$
$=\frac{15}{10}$
$=\frac32$
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Evaluate the following limit:
$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow3}\frac{\text{x}^2-4\text{x}+3}{{\text{x}^2}-2\text{x}-3}$
Answer$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow3}\frac{\text{x}^2-4\text{x}+3}{{\text{x}^2}-2\text{x}-3}$ $=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow3}\frac{\text{x}^2-3\text{x}-\text{x}+3}{{\text{x}^2}+\text{x}-3\text{x}-3}$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow3}\frac{\text{x}(\text{x}-1)-3(\text{x}-1)}{\text{x}({\text{x}}+1)-3(\text{x}+1)}$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow3}\frac{(\text{x}-1)(\text{x}-3)}{({\text{x}}+1)(\text{x}-3)}$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow3}\frac{\text{x}-1}{\text{x}+1}$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow3}\frac{\text{x}(\text{x}-1)-3(\text{x}-1)}{\text{x}({\text{x}}+1)-3(\text{x}+1)}$
$=\frac{3-1}{3+1}$
$=\frac{2}{4}=\frac12$
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Evaluate the following limit:
$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\tan\text{m}\text{x}}{\tan\text{n}\text{x}}$
Answer $\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\tan\text{m}\text{x}}{\tan\text{n}\text{x}}$ $=\frac{\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}{\tan\text{m}\text{x}}{}}{\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}{\sin\text{n}\text{x}}}$
$=\frac{\lim\limits_{\text{m}\text{x}\rightarrow0}\frac{\tan\text{m}\text{x}}{\text{m}\text{x}}\times\text{m}\text{x}}{\lim\limits_{\text{n}\text{x}\rightarrow0}\frac{\tan\text{n}\text{x}}{\text{n}\text{x}}\times\text{n}\text{x}}$ $[\because$ if x → 0 then mx → 0 also nx → 0$]$
$=\frac{1\times\text{m}}{1\times\text{n}}$ $\Big[\because\ \lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\tan\text{x}}{\text{x}}=1\Big]$
$=\frac{\text{m}}{\text{n}}$
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Evaluate the following limit:
$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow{-\frac{1}{2}}}\frac{8\text{x}^{3}+1}{2\text{x}+1}$
Answer $\lim\limits_{\text{x}\rightarrow{-\frac{1}{2}}}\frac{8\text{x}^{3}+1}{2\text{x}+1}$ $=\frac82\lim\limits_{\text{x}\rightarrow{-\frac{1}{2}}}\frac{\text{x}^{3}+\big(\frac12\big)^3}{\text{x}+\frac12}$
$=4\lim\limits_{\text{x}\rightarrow{-\frac{1}{2}}}\frac{\text{x}^{3}+\big(\frac12\big)^3}{\text{x}-\big(-\frac12\big)}$
Applying formula $\lim\limits_{\text{x}\rightarrow{\text{a}}}\frac{\text{x}^{\text{n}}-\text{a}^\text{n}}{\text{x}-\text{a}}=\text{na}^{\text{n}-1}$
Here, n = 3, $\text{a}=\frac{-1}{2}$
$=4\lim\limits_{\text{x}\rightarrow{-\frac{1}{2}}}\frac{\text{x}^{3}+\big(\frac12\big)^3}{\text{x}-\big(-\frac12\big)}=4\times3\Big(-\frac{1}{2}\Big)^{3-1}$
$=4\times3\times\frac14$
$=3$
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Evaluate the following one sided limits:
$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0^-}\frac{\text{x}^2-3\text{x}+2}{\text{x}^3-2\text{x}^2}$
Answer $\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0^-}\frac{\text{x}^2-3\text{x}+2}{\text{x}^3-2\text{x}^2}$ $=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0^-}\frac{\text{x}^2-\text{x}-2\text{x}+2}{\text{x}^2(\text{x}-2)}$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0^-}\frac{\text{x}(\text{x}-1)-2(\text{x}-1)}{\text{x}^2(\text{x}-2)}$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0^-}\frac{(\text{x}-1)(\text{x}-2)}{\text{x}^2(\text{x}-2)}$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0^-}\frac{(\text{x}-1)}{\text{x}^2}$
$=\lim\limits_{\text{h}\rightarrow0}\frac{(0-\text{h}-1)}{(0-\text{h})^2}$
$\Rightarrow\frac{-\text{h}}{\text{h}^2}=\frac{-1}{\text{h}}=\frac{-1}{0}=-\infty$
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Evaluate the following limit:
$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow{\infty}}\frac{5\text{x}^3-6}{\sqrt{9+4\text{x}^6}}$
Answer $\lim\limits_{\text{x}\rightarrow{\infty}}\frac{5\text{x}^3-6}{\sqrt{9+4\text{x}^6}}$ $=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow{\infty}}\frac{5-\frac{6}{\text{x}^3}}{\sqrt{\frac{9}{\text{x}^6}+\frac{4\text{x}^6}{\text{x}^6}}}$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow{\infty}}\frac{\Big(5-\frac{6}{\text{x}^3}\Big)}{\sqrt{\frac{9}{\text{x}^6}+4}}$
$=\frac{5}{\sqrt{4}}=\frac52$
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Evaluate the following limit:
$\lim\limits_{\text{n}\rightarrow\infty}2^{\text{n}-1}\sin\Big(\frac{\text{a}}{2^\text{n}}\Big)$
Answer $\lim\limits_{\text{n}\rightarrow\infty}2^{\text{n}-1}\sin\Big(\frac{\text{a}}{2^\text{n}}\Big)$ $=\lim\limits_{\text{n}\rightarrow\infty}\frac{2^\text{n}}{2}\sin\Big(\frac{\text{a}}{2^\text{n}}\Big)$
$=\lim\limits_{\text{n}\rightarrow\infty}\frac{2^\text{n}}{2}\sin\frac{\text{a}}{2^\text{n}}$
$\text{n}\rightarrow\infty,$ then $\frac{1}{\text{n}}\rightarrow0, $ let $\frac{1}{\text{n}}=\text{h}$
$=\lim\limits_{{\text{h}}\rightarrow\infty}\frac{2^{\frac1{\text{h}}}}{2}\sin\frac{\text{a}}{2^{\frac{1}{\text{h}}}}$
$=\lim\limits_{{\text{h}}\rightarrow\infty}\frac{2^{\frac{1}{\text{h}}}}{2}\frac{\sin\frac{\text{a}}{2^{\frac{1}{\text{h}}}}}{\frac{\text{a}}{2^{\frac{1}{\text{h}}}}}\times\frac{\text{a}}{2^{\frac{1}{\text{h}}}}$ $\Big[\because\lim\limits_{\theta\rightarrow0}\frac{\sin\theta}{\theta}=1\Big]$
$=\frac{\text{a}}{2}$
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