Question
पक्ष: काटकोन $\triangle ABC$ मध्ये एक वर्तुळ अंतर्लिखित केलेले आहे, $\angle ACB = 90^\circ .$ वर्तुळाची त्रिज्या $r$ आहे.
साध्य: $2r = a + b – c$
साध्य: $2r = a + b – c$
✓
Answer
सोबतच्या आकृतीत,
$\left.\begin{array}{l}A F=A E \\F B=B D \\E C=D C\end{array}\right\}...(i) [$स्पर्शिकाखंडाचे प्रमेय$]$
$▢ODCE$ मध्ये,
$\angle ECD = 90^\circ ....…[\because \angle ACB = 90^\circ , A – E – C, B – D – C]$
$\left.\begin{array}{l}\angle O D C=90^{\circ} \\ \angle O E C=90^{\circ}\end{array}\right\} \ldots .....[$स्पर्शिका-त्रिज्या प्रमेय$]$
$\therefore \angle EOD = 90^\circ ...........[▢ODCE$ चा उर्वरित कोन$]$
$\therefore ▢ODCE$ हा आयत आहे.
तसेच, $OE = OD = r ........[$एकाच वर्तुळाच्या त्रिज्या$]$
$\therefore ▢ODCE$ हा आयत आहे $.….....[$जर आयताच्या संलग्न बाजू समान असतील, तर तो चौरस असतो.$]$
$\therefore OE = OD = CD = CE = r .....(ii) [$चौरसाच्या बाजू$]$
आता, उजवी बाजू $= a + b – c$
$= BC + AC – AB$
$= (BD + DC) + (AE + EC) – (AF + FB) …[B–D–C, A–E–C, A–F–B]$
$= (FB + r) + (AF + r) – (AF + FB)… [(i)$ व $(ii)$ वरून$]$
$= FB + r + AF + r – AF – FB$
$= 2r$
= डावी बाजू
$\therefore 2r = a + b – c$
$\left.\begin{array}{l}A F=A E \\F B=B D \\E C=D C\end{array}\right\}...(i) [$स्पर्शिकाखंडाचे प्रमेय$]$
$▢ODCE$ मध्ये,
$\angle ECD = 90^\circ ....…[\because \angle ACB = 90^\circ , A – E – C, B – D – C]$
$\left.\begin{array}{l}\angle O D C=90^{\circ} \\ \angle O E C=90^{\circ}\end{array}\right\} \ldots .....[$स्पर्शिका-त्रिज्या प्रमेय$]$
$\therefore \angle EOD = 90^\circ ...........[▢ODCE$ चा उर्वरित कोन$]$
$\therefore ▢ODCE$ हा आयत आहे.
तसेच, $OE = OD = r ........[$एकाच वर्तुळाच्या त्रिज्या$]$
$\therefore ▢ODCE$ हा आयत आहे $.….....[$जर आयताच्या संलग्न बाजू समान असतील, तर तो चौरस असतो.$]$
$\therefore OE = OD = CD = CE = r .....(ii) [$चौरसाच्या बाजू$]$
आता, उजवी बाजू $= a + b – c$
$= BC + AC – AB$
$= (BD + DC) + (AE + EC) – (AF + FB) …[B–D–C, A–E–C, A–F–B]$
$= (FB + r) + (AF + r) – (AF + FB)… [(i)$ व $(ii)$ वरून$]$
$= FB + r + AF + r – AF – FB$
$= 2r$
= डावी बाजू
$\therefore 2r = a + b – c$
Need a full question paper?
Generate a complete, print-ready paper with questions like this in minutes — across 16+ boards, with answer keys.
Explore more
Similar questions
$\triangle PQR ~ \triangle LTR, \triangle PQR$ मध्ये $PQ = 4.2$ सेमी, $QR = 5.4$ सेमी, $PR = 4.8$ सेमी आणि $\frac{ PQ }{ LT }=\frac{3}{4}$ तर $\triangle PQR$ व $\triangle LTR$ काढा.
→खालील एकसामयिक समीकरणे क्रेमरच्या पद्धतीने सोडवा.
3x - 4y = 10; 4x + 3y = 5
3x - 4y = 10; 4x + 3y = 5
O केंद्र व त्रिज्या 3.6 सेमी असलेले वर्तुळ काढा. वर्तुळकेंद्रापासून 7.2 सेमी अंतरावरील B या बिंदूतून वर्तुळाला स्पर्शिका काढा.
एका गृहस्थाने $₹ 8000$ कर्जाऊ घेतले आणि त्यावर $₹ 1360$ व्याज देण्याचे कबूल केले. प्रत्येक हप्ता आधीच्या हप्त्यापेक्षा $₹ 40$ कमी देऊन सर्व रक्कम $12$ मासिक हप्त्यांत भरली, तर त्याने दिलेला पहिला व शेवटचा हप्ता किती होता?
→खालील एकसामयिक समीकरणे सोडवा.
$\frac{27}{x-2}+\frac{31}{y+3}=85 ; \frac{31}{x-2}+\frac{27}{y+3}=89$
→$\frac{27}{x-2}+\frac{31}{y+3}=85 ; \frac{31}{x-2}+\frac{27}{y+3}=89$
रस्त्याच्या दुतर्फा असलेल्या इमारतीच्या भिंती एकमेकींना समांतर आहेत. $5.8$ मी लांबीच्या शिडीचे एक टोक रस्त्यावर ठेवले असता तिचे वरचे टोक पहिल्या इमारतीच्या $4$ मीटर उंच असलेल्या खिडकीपर्यंत टेकते. त्याच ठिकाणी शिडी ठेवून रस्त्याच्या दुसऱ्या बाजूस वळविल्यास तिचे वरचे टोक दुसऱ्या इमारतीच्या $4.2$ मीटर उंच असलेल्या खिडकीपर्यंत येते, तर रस्त्याची रुंदी काढा.
→खाली दिलेल्या माहितीवरून एका व्यापाऱ्याचे दुसऱ्या व्यापाऱ्यासाठीचे (B2B) टॅक्स इनव्हॉइस तयार करा.
नाव, पत्ता, तारीख इत्यादी तुमच्या पसंतीनुसार घ्या.
पुरवठादार - नाव, पत्ता, राज्य, GSTIN, बिल क्रमांक व तारीख.
प्राप्तकर्ता - नाव, पत्ता, राज्य GSTIN
वस्तूंचा तपशील:
(१) पेन्सिल बॉक्स 100, HSN 3924, दर ₹ 20, GST 12%
(२) जिग सॉ पझल्स 50, HSN 9503, दर ₹ 100, GST 12%
नाव, पत्ता, तारीख इत्यादी तुमच्या पसंतीनुसार घ्या.
पुरवठादार - नाव, पत्ता, राज्य, GSTIN, बिल क्रमांक व तारीख.
प्राप्तकर्ता - नाव, पत्ता, राज्य GSTIN
वस्तूंचा तपशील:
(१) पेन्सिल बॉक्स 100, HSN 3924, दर ₹ 20, GST 12%
(२) जिग सॉ पझल्स 50, HSN 9503, दर ₹ 100, GST 12%
दोन समरूप त्रिकोणांपैकी लहान त्रिकोणाच्या बाजू 4 सेमी, 5 सेमी, 6 सेमी लांबीच्या आहेत आणि मोठ्या त्रिकोणाची परिमिती 90 सेमी आहे, तर मोठ्या त्रिकोणाच्या बाजू काढा.
आकृती मध्ये, समांतरभुज $\text{ABCD}$ हा केंद्र $T$ असलेल्या वर्तुळाभोवती परिलिखित केला आहे. $($म्हणजे त्या चौकोनाच्या बाजू वर्तुळाला स्पर्श करतात.$)$ बिंदू $E, F, G$ आणि $H$ हे स्पर्शबिंदू आहेत. जर $AE = 4.5$ आणि $EB = 5.5,$ तर $AD$ काढा.
→एका समांतरभुज चौकोनाच्या लगतच्या दोन बाजूंच्या वर्गांची बेरीज $130$ चौसेमी असून त्याच्या एका कर्णाची लांबी $14$ सेमी आहे तर त्याच्या दुसऱ्या कर्णाची लांबी किती?
→