Question
यदि $A = \left[\begin{array}{cc}3 & -4 \\ 1 & -1\end{array}\right]$, तो सिद्ध कीजिए $ A^n= \left[\begin{array}{cc}1+2 n & -4 n \\ n & 1-2 n\end{array}\right]$, जहाँ n एक धन पूर्णांक है।
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Answer
हम $n \in N, n$ के सभी मान के लिए इसे सिद्ध करेंगे। $P(n) = A^n= \left[\begin{array}{cc}1+2 n & -4 n \\ n & 1-2 n\end{array}\right]$ मान लीजिए $n = 1$
$P(1): A^1= \left[\begin{array}{cc} 1+2(1) & -4(1) \\ 1 & 1-2(1) \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{array}\right] ...(i)$
जो $n = 1$ के लिए सत्य है।
मान लीजिए यह परिणाम $n = k$ के लिए सत्य है।
$P(k) = A^k= \left[\begin{array}{cc} 1+2 k & -4 k \\ k & 1-2 k \end{array}\right] ...(ii)$
मान लीजिए $n = k + 1$
तब, $P(k + 1) : A^{k + 1}= \left[\begin{array}{cc}1+2(k+1) & -4(k+1) \\ k+1 & 1-2(k+1)\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}2 k+3 & -4 k+4 \\ k+1 & -2 k-1\end{array}\right]$
अब, बाएँ पक्ष से, $= A^{k + 1}= A^kA^1$
$= \left[\begin{array}{cc} 1+2 k & -4 k \\ k & 1-2 k \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{array}\right] [$समी $(i)$ तथा $(ii)$ के प्रयोग से$]$
$= \left[\begin{array}{cc} (1+2 k) \cdot 3+(-4 k) \cdot 1 & (1+2 k) \cdot(-4)+(-4 k) \cdot(-1) \\ k \cdot 3+(1-2 k) \cdot 1 & k \cdot(-4)+(1-2 k) \cdot(-1) \end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{cc} 3+2 k & -4-4 k \\ k+1 & -1-2 k \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 1+2(k+1) & -4(k+1) \\ k+1 & 1-2(k+1) \end{array}\right]$
इस प्रकार, जब यह $n = k$ के लिए सत्य है, तो $n = k + 1$ के लिए भी यह सत्य है, अतः गणितीय आगमन के सिद्धांत से यह $n \in N$ के सभी मानों के लिये सत्य है।
$P(1): A^1= \left[\begin{array}{cc} 1+2(1) & -4(1) \\ 1 & 1-2(1) \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{array}\right] ...(i)$
जो $n = 1$ के लिए सत्य है।
मान लीजिए यह परिणाम $n = k$ के लिए सत्य है।
$P(k) = A^k= \left[\begin{array}{cc} 1+2 k & -4 k \\ k & 1-2 k \end{array}\right] ...(ii)$
मान लीजिए $n = k + 1$
तब, $P(k + 1) : A^{k + 1}= \left[\begin{array}{cc}1+2(k+1) & -4(k+1) \\ k+1 & 1-2(k+1)\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}2 k+3 & -4 k+4 \\ k+1 & -2 k-1\end{array}\right]$
अब, बाएँ पक्ष से, $= A^{k + 1}= A^kA^1$
$= \left[\begin{array}{cc} 1+2 k & -4 k \\ k & 1-2 k \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{array}\right] [$समी $(i)$ तथा $(ii)$ के प्रयोग से$]$
$= \left[\begin{array}{cc} (1+2 k) \cdot 3+(-4 k) \cdot 1 & (1+2 k) \cdot(-4)+(-4 k) \cdot(-1) \\ k \cdot 3+(1-2 k) \cdot 1 & k \cdot(-4)+(1-2 k) \cdot(-1) \end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{cc} 3+2 k & -4-4 k \\ k+1 & -1-2 k \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 1+2(k+1) & -4(k+1) \\ k+1 & 1-2(k+1) \end{array}\right]$
इस प्रकार, जब यह $n = k$ के लिए सत्य है, तो $n = k + 1$ के लिए भी यह सत्य है, अतः गणितीय आगमन के सिद्धांत से यह $n \in N$ के सभी मानों के लिये सत्य है।
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