_ x , ( x^2 + 5x + 3 x^2 + x + 3 )^x = - Vidyadip

MCQ

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \,{\left( {\frac{{{x^2} + 5x + 3}}{{{x^2} + x + 3}}} \right)^x}$=

✓
${e^4}$
B
${e^2}$
C
${e^3}$
D
$e$

✓

Answer

Correct option: A.

${e^4}$

a
(a) $\frac{{{x^2} + 5x + 3}}{{{x^2} + x + 3}} = 1 + \frac{{4x}}{{{x^2} + x + 3}} = 1 + y$ (say)
where $y = \frac{{4x}}{{{x^2} + x + 3}} = \frac{{\frac{4}{x}}}{{1 + \frac{1}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}}} = 0$ as $x \to \infty $
Also, $xy = \frac{{4{x^2}}}{{{x^2} + x + 3}} = \frac{4}{{1 + \frac{1}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}}} = 4$ as $x \to \infty $
$\therefore$ limit $ = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} {(1 + y)^x}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} {[{(1 + y)^{1/y}}]^{\,xy}} = {e^{xy}} = {e^4}$.

Need a full question paper?

Generate a complete, print-ready paper with questions like this in minutes — across 16+ boards, with answer keys.

Start Generating Free

Explore more

More "MCQ" from 12. limits→12. limits — all question types→ગણિત ધોરણ 11 સાયન્સ question papers→Gujarat Board ધોરણ 11 સાયન્સ question papers→Gujarat Board question paper generator→

Similar questions

ધારોકે $p , q \in R$ અને $(1-\sqrt{3} i)^{200}=2^{199}(p+i q), i=\sqrt{-1}$. તો $p + q + q ^2$ અને $p - q + q ^2$ એ સમીકરણ $.............$ ના બીજ છે.

પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n $ માટે, ${\left( {\sqrt 3 + 1} \right)^{2n}} - {\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^{2n}}$ એ_______ છે.

રેખાઓ $x - 3y + 1 = 0 $ અને $2x + 5y - 9 = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી અને જેનું ઉગમબિંદુથી અંતર $\sqrt 5 $ છે. તો આ રેખાનું સમીકરણ શોધો.

જો $k = 1,\,2,.....,n$ માટે ${z_1},{z_2},{z_3}......{z_n}$ એ એકનું $n^{th}$ મૂળ હોય તો . . .

અતિવલય $H : x^{2}-y^{2}=1$ અને ઉપવલય $E : \frac{x^{2}}{ a ^{2}}+\frac{y^{2}}{ b ^{2}}=1, a > b >0$, માટે ધારોકે

$(1)$ $E$ ની ઉત્કેન્દ્રતા એ $H$ ની ઉત્કેન્દ્રતાની વ્યસ્ત છે, અને

$(2)$ રેખા $y=\sqrt{\frac{5}{2}} x+ K$ એ $E$ અને $H$ નો સામાન્ય સ્પર્શક છે.

તો $4\left(a^{2}+b^{2}\right)=$ ...........

${i^{1 + 3 + 5 + ... + (2n + 1)}}$ = . . .

$\cot 3x - \cos (4x + 3)$ નો આવર્તમાન મેળવો.

સમીકરણ $4 \sin ^2 x-4 \cos ^3 x+9-4 \cos x=0 ; x \in[-2 \pi, 2 \pi]$ નાં ઉકેલોની સંખ્યા __________છે.

$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}n\\0\end{array}} \right) + 2\,\left( {\begin{array}{*{20}{c}}n\\1\end{array}} \right) + {2^2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}n\\2\end{array}} \right) + ..... + {2^n}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}n\\n\end{array}} \right)=$ . . .

$X -$ અક્ષને સ્પર્શતા અને વર્તુળ ${{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=1$ ને બહા૨થી સ્પર્શતા વર્તુળનાં કેન્દ્રોના બિંદુગણનું સમીક૨ણ